วันศุกร์ที่ 28 มีนาคม พ.ศ. 2557

การเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นวงกลม ในแนวดิ่ง

การเคลื่อนที่ของวัตถุเป็นวงกลมในแนวดิ่ง



            เราจะเคยเห็นการแกว่งเชือกที่ผูกติดกับถังน้ำในแนวดิ่ง      การปล่อยให้ลูกกลมโลหะ เคลื่อนที่บนรางในแนวดิ่ง และการเคลื่อนที่ของรถไฟตีลังกาในสวนสนุก

  1. ทำไมน้ำในถังน้ำจึงไม่หกออกจากถังน้ำ
  2. ทำไมลูกกลมเหล็กจึงไม่ตกจากราง
  3. และทำไมคนจึงไม่ตกจากรถรางที่เคลื่อนที่กลับหัวลง เป็นต้น
อธิบายปรากฏการณ์



ความเร็วของวัตถุจะเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา คือจะช้าลงเมื่อวัตถุเคลื่อนที่สูงขึ้น และจะเร็วขึ้น เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ต่ำลงมา ความเร็วที่เปลี่ยนไปขึ้นอยู่กับความตึงของเส้นเชือกที่ยึดวัตถุนั้นไว้ เพื่อแกว่งให้เป็นวงกลมในแนวดิ่ง หรืออาจขึ้นอยู่กับแรง
ปฏิกิริยาที่ผิวสัมผัสกระทำต่อวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่อย่างอิสระ นอกจากนั้น ความเร็วของวัตถุยังขึ้นอยู่กับมุม ( q ) ที่วัตถุกระทำกับแนวดิ่ง มวลของวัตถุ ( m ) และรัศมี ( r ) ของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมอีกด้วย

 
                  

การหาความเร็ว




พิจารณาวัตถุมวล m ที่เคลื่อนที่ไปตามรางวงกลมรัศมี r ในแนวดิ่ง เมื่อวัตถุเคลื่อนที่จนทำมุม  กับแนวดิ่ง
จะมีแรงปฏิกิริยาที่รางกระทำต่อวัตถุเป็น Fr และความเร็วของวัตถุขณะนั้นเป็น v จากกฎการเคลื่อนที่ข้อ 2 ของ
นิวตัน จะได้

    เมื่อพิจารณาแรงปฏิกิริยา Fr ที่รางกระทำต่อวัตถุ ณ ตำแหน่งต่าง ๆ จะได้
    ที่จุดต่ำสุด ซึ่ง =  0 เพราะฉะนั้น ค่า cos= 1 จะได้
    ที่จุดสูงสุด ซึ่ง = 180 เพราะฉะนั้น ค่า cos=  -1 จะได้
    ที่จุดซึ่ง =  90 เพราะฉะนั้น ค่า cos=  0 จะได้
    ดังที่กล่าวแล้วว่าที่ตำแหน่งสูงสุดวัตถุจะมีความเร็วช้าที่สุด และจากการพิจารณาค่าแรงปฏิกิริยาที่รางกระทำ
ต่อวัตถุ พบว่าแรงปฏิกิริยานี้จะลดน้อยลงเมื่อวัตถุเคลื่อนที่สูงขึ้น  สมมติให้ที่ตำแหน่งสูงสุดแรงปฏิกิริยาที่ราง
กระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์พอดี สมการที่  จะเขียนได้เป็น

     เราเรียกความเร็วในสมการที่  นี้ว่า "ความเร็ววิกฤต" ( critical velocity, Vc )  ดังนั้นความเร็ววิกฤตจะเป็น
ความเร็วน้อยที่สุดที่วัตถุสามารถจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมต่อไปได้ถ้าวัตถุมีความเร็วน้อยกว่าความเร็ววิกฤต  วัตถุ
จะตกลงมายังพื้นล่างในแนวดิ่งทันที

แรงกระทำที่เกี่ยวข้อง

ขณะที่ลูกกลมโลหะเคลื่อนที่ตามรางวงกลมในแนวดิ่งนั้นมีแรงหลายแรงกระทำต่อลูกกลมโลหะ  อาทิเช่น
1. แรงโน้มถ่วงของโลกที่กระทำต่อลูกกลม หรือน้ำหนักของลูกกลมโลหะนั่นเอง ( รูปภาพประกอบ )
2. แรงที่รางดันลูกกลมโลหะในแนวตั้งฉากกับผิวของราง ซึ่งเป็นแรงปฏิกิริยาที่รางกระทำต่อลูกกลมโลหะ ( รูปภาพประกอบ ) เพราะฉะนั้นแรงลัพธ์ของแรงทั้งสอง ( แรงในข้อ 1 และข้อ 2 )  ก็คือแรงสู่ศูนย์กลาง

3. แรงจากความเฉื่อยขับดันลูกกลมโลหะให้เคลื่อนที่เป็นเส้นตรง เรียกว่า "แรงหนีศูนย์กลาง" ( รูปภาพประกอบ ) ซึ่งแรงหนีศูนย์กลางนี้ ไม่เกิดขึ้นจริง แต่เราใช้เพื่อให้ง่ายต่อการอธิบาย
*** กรณีที่ลูกกลมโลหะวิ่งตามรางในแนวดิ่งได้นั้น แสดงว่า  แรงสู่ศูนย์กลาง และแรงหนีศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน ( รูปภาพประกอบ ) ที่ทุก ๆ ตำแหน่งบนเส้นทางการเคลื่อนที่ของลูกกลมโลหะตามรางในแนวดิ่ง จะต้องมีแรงสู่ศูนย์กลาง เพื่อเปลี่ยนทิศทาง
ความเร็วของลูกกลมโลหะให้เคลื่อนที่เป็นวงกลม ซึ่งพิจารณาแรงสู่ศูนย์กลางในแต่ละตำแหน่ง  ได้ดังนี้
1. ขณะที่ลูกกลมโลหะอยู่ ณ ตำแหน่งล่างสุดของราง ขนาดของแรงสู่ศูนย์กลาง ( Fc ) ก็คือผลต่างของแรงที่รางดันลูกกลมโลหะ ( Fr ) กับน้ำหนักของลูกกลมโลหะ ( mg ) หรือกล่าวอีกนัยก็คือ แรงที่รางดันลูกกลมโลหะก็คือ ผลรวมของน้ำหนักกับแรงสู่ศูนย์กลาง  ( รูปภาพประกอบ )
Fc   =   Fr   -   mg
หรือ
Fr   =   Fc  +  mg
2. ขณะที่ลูกกลมโลหะอยู่ ณ ตำแหน่งบนสุดของราง   ขนาดของแรงสู่ศูนย์กลาง ( Fc ) ก็คือผลรวมของแรงที่รางดันลูกกลมโลหะ ( Fr ) กับน้ำหนักของลูกกลมโลหะ ( mg ) หรือกล่าวอีกนัย ก็คือ  แรงที่รางดันลูกกลมโลหะ คือ  ผลต่างของน้ำหนักกับแรงสู่ศูนย์กลาง ( รูปภาพประกอบ )
Fc    =   Fr  +  mg
หรือ
Fr   =   Fc   -   mg
หากแรงที่รางดันลูกกลมโลหะ ณ ตำแหน่งบนสุดของราง มีค่าน้อยที่สุด คือเป็นศูนย์ ( Fr  =  0 )   ดังนั้น  แรงสู่ศูนย์กลาง คือ น้ำหนักของลูกกลมโลหะนั่นเอง

การหาพลังงาน

จากกฎการอนุรักษ์พลังงาน  ผลรวมของพลังงานจลน์ และพลังงานศักย์ของลูกกลมโลหะ ณ ตำแหน่งบนสุดจะมีค่าเท่ากับผลรวมของพลังงานจลน์ และพลังงานศักย์ของลูกกลมโลหะ ณ ตำแหน่งล่างสุดของราง  ดังสมการ
EPL  +  EKL   =   EPH +  EKH
  เมื่อ EPL    =  พลังงานศักย์ ณ ตำแหน่งล่างสุด
EKL    =  พลังงานจลน์ ณ ตำแหน่งล่างสุด
EPH   =  พลังงานศักย์ ณ ตำแหน่งบนสุด
EKH   =  พลังงานจลน์ ณ ตำแหน่งบนสุด
หากตำแหน่งล่างสุดของรางเป็นจุดอ้างอิง   พลังงานศักย์ ณ ตำแหน่งนี้จะมีค่าเป็นศูนย์  (EPL = 0) ตำแหน่งล่างสุดของรางกับตำแหน่งบนสุดของรางอยู่ห่างกัน  2r และที่ตำแหน่งบนสุดของราง ลูกกลมโลหะจะมีความเร็วดังสมการที่  ) จะได้ว่า
EPH         =         2r mg            และ          EKH         =        r mg
ดังนั้น                                                                                             EKL           =          2r mg   + r mg
                                                                                                                              =       rmg



โดย : นายนริศ สันติวงศ์ โรงเรียนปากช่อง
และสำนักบริการคอมพิวเตอร์ มก.



Physis chemical biology Education

About Me

ขับเคลื่อนโดย Blogger.

Blog Archive