การหาสมการการเคลื่อนที่ของวัตถุที่เคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

พิจารณาวงกลมที่มีรัศมี A วางบนแกน XY โดยจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดเริ่มต้น0

รูปที่ 1

P เป็นจุดใด ๆ บนเส้นรอบวง

Q เป็นเงา (projection) ของ P บน แกน Y วิธีการหาจุด Q ก็คือจากจุด P ลากเส้นให้ตั้งฉากกับแกน Y จุดที่เส้นตั้งฉากนี้ตัดแกน Y ก็คือจุด Q นั่นคือ

ที่เวลาเริ่มต้น t= 0 ให้ P อยู่บนแกน +X ขณะนั้นจะได้ว่า Q อยู่ที่จุด O ในเวลาต่อมา ก็ให้ P เคลื่อนที่ไปตามเส้นรอบวงในทิศทวนเข็มนาฬิกา จะเห็นว่าในขณะที่จุด P เคลื่อนที่ ไปตามเส้นรอบวงนั้น จุด Q ก็จะเคล่อนที่ไปตามแกน Y โดย Q จะเริ่มเคลื่อนที่จากจุด 0 ขึ้นไปตามแกน +Y จนถึงตำแหน่งที่ Y = A ในขณะที่ P เคลื่อนที่ถึงแกน +Y จากนั้น Q จะเคลื่อนที่กลับลงมาผ่านจุด 0 อีกครั้งจนไปถึงจุด Y = -A ซึ่งขณะนั้น P ก็เคลื่อนที่ถึงแกน -Y ในที่สุด Q ก็กลับมาถึงจุด 0 อีกครั้ง เมื่อ P เคลื่อนที่จากแกน -Y ไปยังแกน +X

จะเห็นว่า ขณะที่ P เคลื่อนที่เป็นวงกลมนั้น Q ก็จะเคลื่อนที่กลับไปมาตามแกน Y การเคลื่อนที่ของ Q จึงเป็นการเคลื่อนที่แบบ ฮาร์โมนิกอย่างง่าย ในการหาสมการของ SHM นั้น จะหาว่าที่ เวลา t ใด ๆ จุด Q เคลื่อนที่จากจุดเริ่มต้นเป็นระยะทางเท่าใด

รูปที่ 2

ให้จุด P เคลื่อนที่ด้วยความถี่ f รอบ/วินาที

 เป็นมุมที่เส้น OP ทำกับแกน +X ที่เวลา t ใด ๆ

เพราะว่า ถ้า P เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ จุด Q ก็เคลื่อนที่ครบ 1 รอบเช่นเดียวกัน

ดังนั้นในเวลา 1 วินาที Q เคลื่อนที่ได้ = f รอบ

t วินาที Q เคลื่อนที่ได้ = ft รอบ

ถ้า P เคลื่อนที่ 1 รอบมุม  = 2 เรเดียน

P เคลื่อนที่ ft รอบมุม  = 2rt เรเดียน

นั่นคือที่เวลา t ใด ๆ มุม  จะมีค่าเป็น 2rt เรเดียน

จากรูปพิจารณา OPQ จะได้ว่ามุม P = Q = 2ft

ถ้า y เป็นระยะทางตามแกน Y ที่ Q เคลื่อนที่ได้ในเวลา t ใด ๆ

จะได้ว่า y = OQ

ใน OPQ sin = OQ/OP = y/A

หรือ y = A sin 

นั่นคือy = A sin 2ft

สมการข้างบนคือสมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

ในสมการ y คือการขจัด (displacement)

A คือ อัมปลิจูด (amplitude)

f คือความถี่ (frequency)

ในการศึกษาการเคลื่อนที่แบบ SHM นี้ จะต้องกำหนดปริมาณต่าง ๆ ดังต่อไปนี้

การขจัด (dis placement) คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ไปได้โดยนับจากจุดสมดุล

อัมปลิจูด (amplitude) คือระยะทางมากที่สุดที่วัตถุจะสามารถเคลื่อนที่ไปได้ โดยนับจากจุดสมดุลเช่นเดียวกัน อาจจะพิจารณาได้ว่าอัมปลิจูด ก็คือการขจัดมากที่สุดนั่นเอง

คาบ (period) คือเวลาที่วัตถุใช้ในการสั่น 1 รอบ (เช่นจากรูป 1a ถึง 1e

ความถี่ (frequency) คือจำนวนรอบที่วัตถุสั่น หรือเคลื่อนที่ได้ใน 1 วินาที จากนิยามเหล่านี้ ถ้า f เป็นความถี่ และ T เป็นคาบ จะได้ว่า T = 1/f

หมายเหตุ ถ้าพิจารณาเงา (projection) ของ P บนแกน X จะได้สมการของ SHM เป็น

x = A cos2ft

โดย x เป็นการขจัด หรือ x ทำหน้าที่เป็น y ในสมการข้างต้นไม่ว่าจะเป็นสมการของ sine หรือ cosine ก็ใช้ได้ทั้งคู่ เพราะทั้ง sine และ cosine ต่างก็มีค่าระหว่าง 1 ถึง -1 และลักษณะของกราฟของฟังก์ชันทั้งสองก็เหมือนกัน แต่ผู้เขียนต้องการเขียนสมการของ SHM ในรูปของ sine เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจเรื่องคลื่น

---

ที่มา : นายณสรรค์ ผลโภค, นิตยสารเรียนดี ปี 2 ฉบับที่ 3.